Radie, diameter, omkrets & π

Cirkeln är nog den mest fundamentala formen i vårt universum Ovasett om du tittar på planeternas omloppsbanor, hjul, eller saker på molekylnivå Cirkeln dyker upp om och om igen Så det är nog bra att känna till några av cirkelns egenskaper Det första när folk upptäcker cirkeln (det räcker att titta på månen för att hitta en cirkel) Vad är egenskaperna? Den första är att en cirkel är alla punkter som är ekvidistanta från mitten Alla de här punkterna på kanten har samma avstånd från mitten Så det första man kan fråga är Vad är det avståndet? Vi kallar det för radien Radien av cirkeln Det är bara avståndet från mitten till kanten Om den radien är 3 cm så är den här radien 3 cm Och den här radien kommer vara 3 cm Den kommer aldrig försändras Per definition är en cirkel alla punkter som är ekvidistanta från mittpunkten Och det avståndet är radien Nästa intressanta sak är Hur tjock är cirkel? Hur bred är den som bredast? Om du vill skära den längs dess bredaste bredd Hur längt är det avståndet? Det måste inte vara just där Jag kan lika gärna skära den så här Men jag skulle inte skära den så här För det skulle inte vara bredaste bredden Det finns flera sätt jag kan skära den längs bredaste bredden Vi såg just radien Och vi ser att det bredaste strecket går genom mitten och fortsätter Så det är två radier En radie här, och en radie här Vi kallar det här avståndet för diametern Det är cirkelns diameter Och den har ett enkelt förhållande med radien Diametern är lika med 2 gånger radien Nästa intressanta sak som du kanske vill veta är hur långt det är runt cirkeln Så om du skulle mäta med måttband runt cirkeln så här Vad är det avståndet? Vi kallar det för omkretsen Omkretsen av cirkeln Vi vet hur diametern och radien hänger ihop Men hur förhåller sig omkretsen till diametern? Om vi har om vi har diametern är det lätt att få radien För många tusen år sedan mätte folk omkretsar och radier Och när de inte hade så bra måttband så fick de ungefär 3 Och de mätte radien och diametern av cirkeln och diametern var ungefär 1 Vi vi veta förhållandet (jag skriver såhär) Förhållandet mellan omkretsen och diametern Vi säger att någon hade den här cirkeln och de mäter runt cirkeln med ett dåligt måttband och fick ungefär 3 meter omkrets och diametern ungefär 1 Så kanske förhållandet mellan omkrets och radie är 3 i så fall är omkretsen alltid 3 gånger diametern Det var den här cirkeln Men de mätte en annan cirkel Så här, jag ritar den mindre De mätte runt den och fick omkretsen 6 cm, ungefär Vi har ett dåligt måttband Och de mätte diametern till ungefär 2 cm Förhållandet mellan omkrets och diameter är ungefär 3 igen Det var ju en trevlig egenskap hos cirklar Kanske förhållandet mellan omkrets och radie alltid är samma! För varje cirkel Så de skaffade bättre måttband och de mätte att diametern definitivt är 1 men omkretsen är närmare 3.1 Och samma här, det här förhållandet är närmare 3.1 Och de fortsatte mäta bättre och bättre och insåg att de fick ett nummer, 3.14159... och de fortsatte lägga till siffror men det upprepade sig aldrig Det var ett konstigt, fascinerande metafysiskt nummer som fortsatte dyka upp Och eftersom nummret var så fundamentalt för universum eftersom cirkeln är så fundamental för universum och det dök upp för varje cirkel Förhållandet mellan omkretsen och diametern av cirkeln var det här magiska numret Så de gav det ett namn: pi Man kan skriva det med en grekisk bokstav, så här Det representerar det här numret som nog är det mest fascinerande numret i världen Det dyker först upp som förhållandet mellan omkretsen och diametern Men du kommer att upptäcka på ditt matematiska äventyr att det dyker upp överallt! Det är en av de fundamentala grejerna i universum som får en att tro att det finns en ordning med allt Hur kan vi använda det här i vår vanliga matematik? Vi vet, eller jag säger, att förhållandet mellan omkretsen och diametern När jag säger "förhållandet" menar jag omkretsen delat med diametern Då får du pi Jag skulle kunna skriva 3.1415 och bara fortsätta Men det vore slöseri av plats och svårt att använda Så man skriver bara den här grekiska bokstaven istället Så hur kan vi använda det här? Vi kan multiplicera båda sidorna med diametern Då får vi att omkretsen är lika med pi gånger diametern Eller, eftersom diametern är 2 gånger radien så kan vi säga att omkretsen är lika med pi gånger 2 gånger radien Eller, det vanligaste: att den är lika med 2 pi r Vi ser om vi kan använda det för att lösa problem Vi har en cirkel, så här och den har en radie som är 3 (låt mig skriva ner det) Radien är 3 meter Vad är omkretsen av cirkeln? omkretsen är lika med 2 gånger pi gånger radien 2 gånger pi gånger 3 meter vilket är lika med 6 pi meter Jag kan multiplicera det här Pi är bara ett nummer Pi är 3.14159... och så vidare Om jag multiplicerar 6 med det kanske jag får 18 komma något Om du har en miniräknare kan du testa Men för enkelhets skull skriver man bara med pi Jag vet inte vad det är men om man multiplicerar det får man ungefär 19 eller 18 Jag har inte min räknare Men istället för att skriva det skriver vi 6 pi (Det är nog mindre än 19) Vad är diametern av cirkeln? Om radien är 3 så är diametern 3 gånger 2 eller 3 plus 3, vilket är 6 Omkretsen är 6 pi meter Diametern är 6 meter Radien är 3 meter Låt oss säga att vi har en annan cirkel Och jag säger att omkretsen är lika med 10 meter Om du skulle mäta runt med måttband Och någon frågar: Vad är diametern? Vi vet att diametern gånger pi att pi gånger diametern är lika med omkretsen den är lika med 10 meter För att lösa det här delar vi båda sidor med pi Diametern är 10 meter delat med pi och det är bara ett nummer Om du har en räknare kan du dela 10 med 3.14159 då får du 3 komma någonting Jag kan inte räkna ut det i huvudet Men det här är bara ett nummer För enkelhetens skull lämnar vi det ofta bara så här Vi vill ha radien Radien är hälften av diametern Det här är 10 genom pi Vi vill bara ha hälften, bara radien så vi multiplicerar det med 1/2 1/2 gånger 10/pi är lika med hälften av 10 genom pi Vi får 5 delat med pi Radien är 5/pi Inget superkrångligt Det jag tror förvirrar folk är att inse att pi är ett nummer Pi är bara 3.14159... och bara fortsätter Det finns tusentals böcker om pi Jag kanske överdriver Man kan skriva böcker om det här talet Men det är bara ett tal! Det är ett väldigt speciellt tal och om du vill skriva det som du är van vid kan du bara multiplicera ihop det För det mesta skriver man med pi-symboeln Jag slutar där Och i nästa video pratar vi om arean av en cirkel