If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Om du är bakom en brandvägg eller liknande filter, vänligen se till att domänerna *. kastatic.org och *. kasandbox.org inte är blockerade.

Huvudinnehåll

Grundläggande algebra

Course: Grundläggande algebra > Enhet 7

Lektion 9: Lösa andragradsekvationer med faktorisering
Matematik
Grundläggande algebra
Andragradsuttryck och polynom
Lösa andragradsekvationer med faktorisering
© 2023 Khan AcademyAnvändarvillkorIntegritetspolicyCookie Notice

Andragradsekvationer som löses med faktorisering

Google Classroom
Lär dig hur du löser andragradsekvationer som (x-1)(x+3)=0 och hur man använder faktorisering för att lösa andra former av ekvationer.

Vad du bör känna till inför den här lektionen

Vad du kommer att lära dig i den här lektionen

Hittills har du löst linjära ekvationer, som inkluderar konstanta termer, vanliga tal samt förstagradstermer, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x.
Du kan också ha löst några andragradsekvationer, som inkluderar en andragradsvariabel, genom att ta kvadratroten ur båda leden.
I den här lektionen lär du dig ett nytt sätt att lösa andragradsekvationer. Specifikt kommer du att lära dig
  • hur man löser faktoriserade ekvationer som left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 och
  • hur man använder faktoriseringsmetoder för att få andra ekvationer left parenthesissom x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis till en faktoriserad form och lösa dem.

Att lösa faktoriserade andragradsekvationer

Antag att vi ombeds att lösa andragradsekvationen left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Detta är en produkt av två uttryck som är lika med noll. Observera att alla x -värden som gör att antingen left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis eller left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis blir noll, även kommer att göra deras produkt till noll.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Att ersätta antingen x, equals, 1 eller x, equals, minus, 3 i ekvationen kommer att resultera i det sanna uttrycket 0, equals, 0, så de är båda lösningar för ekvationen.
Lös nu några få liknande ekvationer på egen hand.
Lös left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
Välj 1 alternativ:

Lös left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Välj 1 alternativ:

Reflektionsfråga

Kan samma lösningsmetod tillämpas på ekvationen left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6?
Välj 1 alternativ:

En notering om nollproduktmetoden

Hur vet vi att det inte finns några fler lösningar än de två vi hittar med vår metod?
Svaret tillhandahålls av en enkel men mycket användbar metod, kallad nollproduktmetoden:
Om produkten av två kvantiteter är lika med noll, måste minst en av kvantiteterna vara lika med noll.
Att ersätta något värde av x förutom våra lösningar resulterar i en produkt med två icke-nolltal, vilket betyder att produkten verkligen inte är noll. Därför vet vi att våra lösningar är de enda som är möjliga.

Lösning genom faktorisering

Antag att vi vill lösa ekvationen x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, då är allt vi behöver göra att faktorisera x, squared, minus, 3, x, minus, 10 och lösa som tidigare!
x, squared, minus, 3, x, minus, 10 kan faktoriseras som left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
Den fullständiga lösningen av ekvationen skulle bli enligt följande:
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Faktorisera\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Faktorisera}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x=5\end{aligned}
Nu är det din tur att lösa några ekvationer på egen hand. Tänk på att olika ekvationer kräver olika faktoriseringsmetoder.

Lös x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Steg 1. Faktorisera x, squared, plus, 5, x som en produkt av två linjära uttryck.\quad

Steg 2. Lös ekvationen.
Välj 1 alternativ:

Lös x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Steg 1. Faktorisera x, squared, minus, 11, x, plus, 28 som en produkt av två linjära uttryck.\quad

Steg 2. Lös ekvationen.
Välj 1 alternativ:

Lös 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Steg 1. Faktorisera 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 som en produkt av två linjära uttryck.\quad

Steg 2. Lös ekvationen.
Välj 1 alternativ:

Lös 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Steg 1. Faktorisera 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 som en produkt av två linjära uttryck.\quad

Steg 2. Lös ekvationen.
Välj 1 alternativ:

Ordna ekvationen före faktorisering

En av sidorna måste vara noll.

Så här går lösningen av ekvationen x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x till:
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0Subtrahera 40 och la¨gg till x.x2+3x−40=0Kombinera lika termer.(x+8)(x−5)=0Faktorisera.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Subtrahera 40 och lägg till }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Kombinera lika termer.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Faktorisera.}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x=5\end{aligned}
Innan vi faktoriserade, manipulerade vi ekvationen så att alla termer var på samma sida och den andra sidan var noll. Först då kunde vi faktorisera och använda vår lösningsmetod.

Ta bort gemensamma faktorer

Så här går lösningen av ekvationen 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0 till:
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0Dividera med 2.(x−3)2=0Faktorisera↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Dividera med 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Faktorisera}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Alla termer hade ursprungligen en gemensam faktor på 2, så vi dividerade alla sidor med 2-nollsidan förblev noll-vilket gjorde faktoriseringen enklare.
Lös nu några få liknande ekvationer på egen hand.
Bestäm lösningarna till ekvationen.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Välj alla svar som stämmer:

Bestäm lösningarna till ekvationen.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Välj alla svar som stämmer:

Bestäm lösningarna till ekvationen.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Välj alla svar som stämmer:

Vill du gå med i konversationen?

Logga in
Inga inlägg än.
Förstår du engelska? Klicka här för att se fler diskussioner på Khan Academys engelska webbplats.