If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Om du är bakom en brandvägg eller liknande filter, vänligen se till att domänerna *. kastatic.org och *. kasandbox.org inte är blockerade.

Huvudinnehåll

Faktorisera andragradsuttryck: ledande koefficient ≠ 1

Lär dig hur du faktoriserar andragradsuttryck som en produkt av två linjära binom. Till exempel 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Vad du behöver veta innan den här lektionen

Grupperingsmetoden kan användas för att faktorisera polynom med 4 termer genom att ta ut gemensamma faktorer flera gånger. Om det här är nytt för dig, så kolla in vår artikel Introduktion till faktorisering genom gruppering .
Vi rekommenderar också att du går igenom vår artikel om att faktorisera-andragradsuttryck med en ledande koefficient på 1 innan du fortsätter.

Vad du kommer att lära dig i den här lektionen

I denna artikel kommer vi att använda gruppering för att faktorisera andragradsuttryck med en ledande koefficient annan än 1, som 2x2+7x+3.

Exempel 1: Faktorisera 2x2+7x+3

Eftersom den ledande koefficienten för (2x2+7x+3) är 2, kan vi inte använda summa-produktmetoden för att faktorisera andragradsuttrycket.
I stället måste vi för att faktorisera 2x2+7x+3 hitta två heltal som ger produkten 23=6 (den ledande koefficienten gånger den konstanta termen) och summan 7 ( x-koefficienten).
Eftersom 16=6 och 1+6=7 är de två talen 1 och 6.
Dessa två siffror säger oss hur man delar upp x-termen i det ursprungliga uttrycket. Så vi kan uttrycka vårt polynom som 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3.
Vi kan nu använda gruppering för att faktorisera polynomet:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Gruppera termer=x(2x+1)+3(2x+1)Bryt ut SGF=x(2x+1)+3(2x+1)Gemensam Faktor!=(2x+1)(x+3)Faktorisera ut 2x+1
Den faktoriserade formen är (2x+1)(x+3).
Vi kan kontrollera våra beräkningar genom att visa att faktorerna multipliceras tillbaka till 2x2+7x+3.

Sammanfattning

I allmänhet kan vi använda följande steg för att faktorisera ett andragradsuttryck av formen ax2+bx+c:
  1. Börja med att bestämma två tal som vid multiplikation ger ac och vid addition ger b.
  2. Använd dessa tal för att dela upp x-termen.
  3. Använd gruppering för att faktorisera andragradsuttrycket.

Kolla vad du lärt dig

1) Faktorisera 3x2+10x+8.
Välj 1 alternativ:

2) Faktoruppdela 4x2+16x+15.

Exempel 2: Faktorisera 6x25x4

För att faktorisera 6x25x4 behöver vi hitta två heltal som ger produken 6(4)=24 och summan 5.
Eftersom 3(8)=24 och 3+(8)=5 är talen 3 och 8.
Vi kan nu skriva termen 5x som summan av 3x och 8x och använda gruppering för att faktorisera polynomet:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Gruppera termer(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Bryt ut SGF(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Förenkla(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Gemensam Faktor!(5)=(2x+1)(3x4)Faktorisera ut 2x+1
Den faktoriserade formen är (2x+1)(3x4).
Vi kan kontrollera våra beräkningar genom att visa att faktorerna multipliceras tillbaka till 6x25x4.
Notera: I steg (1) ovan noteras att eftersom det tredje elementet är negativ infördes ett "+" mellan grupperingarna för att hålla uttrycket ekvivalent med originalen. Också i steg (2)behövde vi faktorisera ut en negativ SGF från den andra grupperingen för att avslöja en gemensam faktor av 2x+1. Var försiktig med dina tecken!

Kolla vad du lärt dig

3) Faktorisera 2x23x9.
Välj 1 alternativ:

4) Faktorisera 3x22x5.

5) Faktorisera 6x213x+6.

När är den här metoden användbar?

Tja, uppenbarligen är metoden användbar för att faktorisera andragradare av formen ax2+bx+c, till och med när a1.
Det är emellertid inte alltid möjligt att faktorisera ett andragradsuttryck av denna form med hjälp av vår metod.
Exempelvis kan vi ta uttrycket 2x2+2x+1. För att faktorisera det måste vi hitta två heltal som har produkten 21=2 och summan 2. Du kan försöka, men du hittar inte två sådana heltal.
Därför fungerar inte vår metod för 2x2+2x+1 och för en massa andra andragradsuttryck.
Det är dock viktigt att komma ihåg att om denna metod inte fungerar betyder det att uttrycket inte kan faktoriseras som (Ax+B)(Cx+D) där A, B, C och D är heltal.

Varför fungerar den här metoden?

Vi tar ett djupdyk in i varför den här metoden fungerar över huvud taget. Vi kommer att behöva använda en massa bokstäver här, men var god ha tålamod med oss!
Antag att det allmänna andragradsuttrycket ax2+bx+c kan faktoriseras som (Ax+B)(Cx+D) med heltalen A, B, C och D.
När vi utvecklar parentesen får vi andragradsuttrycket (AC)x2+(BC+AD)x+BD.
Eftersom detta uttryck motsvarar ax2+bx+c, måste motsvarande koefficienter i de två uttrycken vara lika! Detta ger oss följande förhållande mellan alla okända bokstäver:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
Nu, kan vi definiera m=BC och n=AD.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
Enligt denna definition ...
m+n=BC+AD=b
och
mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac
Och då är BC och AD de två heltal vi alltid letar efter när vi använder denna faktoriseringsmetod!
Nästa steg i metoden efter att ha hittat m och n är att dela upp x-koefficienten (b) enligt m och n och faktorisera genom att använda gruppering.
Om vi ​​delar up x-termen (BC+AD)x till (BC)x+(AD)x kan vi använda gruppering för att faktorisera vårt uttryck tillbaka till (Ax+B)(Cx+D).
Sammanfattningsvis, i detta avsnitt har vi ...
  • startat med det generella utvecklade uttrycket ax2+bx+c och dess allmänna faktorisering (Ax+B)(Cx+D),
  • kunnat hitta två tal, m och n, så att mn=ac och m+n=b (vi gjorde det genom att definiera m=BC och n=AD),
  • delat upp x-termen bx till mx+nx och kunnat faktorisera det utvecklade uttrycket tillbaka till (Ax+B)(Cx+D).
Denna process visar varför, om ett uttryck faktiskt kan betraktas som (Ax+B)(Cx+D), så kommer vår metod att se till att vi hittar denna faktorisering.
Tack för att du tog dig igenom detta!

Vill du gå med i konversationen?

Inga inlägg än.
Förstår du engelska? Klicka här för att se fler diskussioner på Khan Academys engelska webbplats.