If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Om du är bakom en brandvägg eller liknande filter, vänligen se till att domänerna *. kastatic.org och *. kasandbox.org inte är blockerade.

Huvudinnehåll

Faktorisera andragradsuttryck: ledande koefficient ≠ 1

Lär dig hur du faktoriserar andragradsuttryck som en produkt av två linjära binom. Till exempel 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Vad du behöver veta innan den här lektionen

Grupperingsmetoden kan användas för att faktorisera polynom med 4 termer genom att ta ut gemensamma faktorer flera gånger. Om det här är nytt för dig, så kolla in vår artikel Introduktion till faktorisering genom gruppering .
Vi rekommenderar också att du går igenom vår artikel om att faktorisera-andragradsuttryck med en ledande koefficient på 1 innan du fortsätter.

Vad du kommer att lära dig i den här lektionen

I denna artikel kommer vi att använda gruppering för att faktorisera andragradsuttryck med en ledande koefficient annan än 1, som 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Exempel 1: Faktorisera 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3

Eftersom den ledande koefficienten för left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis är start color #11accd, 2, end color #11accd, kan vi inte använda summa-produktmetoden för att faktorisera andragradsuttrycket.
I stället måste vi för att faktorisera start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff hitta två heltal som ger produkten start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (den ledande koefficienten gånger den konstanta termen) och summan start color #e07d10, 7, end color #e07d10 ( x-koefficienten).
Eftersom start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 och start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7 är de två talen start color #01a995, 1, end color #01a995 och start color #01a995, 6, end color #01a995.
Dessa två siffror säger oss hur man delar upp x-termen i det ursprungliga uttrycket. Så vi kan uttrycka vårt polynom som 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
Vi kan nu använda gruppering för att faktorisera polynomet:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Gruppera termer=x(2x+1)+3(2x+1)Bryt ut SGF=x(2x+1)+3(2x+1)Gemensam Faktor!=(2x+1)(x+3)Faktorisera ut 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Gruppera termer}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{Bryt ut SGF}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Gemensam Faktor!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{Faktorisera ut } 2x+1}} \end{aligned}
Den faktoriserade formen är left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Vi kan kontrollera våra beräkningar genom att visa att faktorerna multipliceras tillbaka till 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Sammanfattning

I allmänhet kan vi använda följande steg för att faktorisera ett andragradsuttryck av formen start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff:
  1. Börja med att bestämma två tal som vid multiplikation ger start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff och vid addition ger start color #e07d10, b, end color #e07d10.
  2. Använd dessa tal för att dela upp x-termen.
  3. Använd gruppering för att faktorisera andragradsuttrycket.

Kolla vad du lärt dig

1) Faktorisera 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8.
Välj 1 alternativ:
Välj 1 alternativ:

2) Faktoruppdela 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

Exempel 2: Faktorisera 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

För att faktorisera start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff behöver vi hitta två heltal som ger produken start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 och summan start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Eftersom start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 och start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5 är talen start color #01a995, 3, end color #01a995 och start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Vi kan nu skriva termen minus, 5, x som summan av start color #01a995, 3, end color #01a995, x och start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x och använda gruppering för att faktorisera polynomet:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Gruppera termer(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Bryt ut SGF(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Fo¨renkla(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Gemensam Faktor!(5)=(2x+1)(3x4)Faktorisera ut 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Gruppera termer}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{Bryt ut SGF}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Förenkla}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Gemensam Faktor!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Faktorisera ut } 2x+1}}\\ \end{aligned}
Den faktoriserade formen är left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Vi kan kontrollera våra beräkningar genom att visa att faktorerna multipliceras tillbaka till 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4.
Notera: I steg start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd ovan noteras att eftersom det tredje elementet är negativ infördes ett "+" mellan grupperingarna för att hålla uttrycket ekvivalent med originalen. Också i steg start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accdbehövde vi faktorisera ut en negativ SGF från den andra grupperingen för att avslöja en gemensam faktor av 2, x, plus, 1. Var försiktig med dina tecken!

Kolla vad du lärt dig

3) Faktorisera 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9.
Välj 1 alternativ:
Välj 1 alternativ:

4) Faktorisera 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

5) Faktorisera 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

När är den här metoden användbar?

Tja, uppenbarligen är metoden användbar för att faktorisera andragradare av formen a, x, squared, plus, b, x, plus, c, till och med när a, does not equal, 1.
Det är emellertid inte alltid möjligt att faktorisera ett andragradsuttryck av denna form med hjälp av vår metod.
Exempelvis kan vi ta uttrycket start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. För att faktorisera det måste vi hitta två heltal som har produkten start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 och summan start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Du kan försöka, men du hittar inte två sådana heltal.
Därför fungerar inte vår metod för start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff och för en massa andra andragradsuttryck.
Det är dock viktigt att komma ihåg att om denna metod inte fungerar betyder det att uttrycket inte kan faktoriseras som left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis där A, B, C och D är heltal.

Varför fungerar den här metoden?

Vi tar ett djupdyk in i varför den här metoden fungerar över huvud taget. Vi kommer att behöva använda en massa bokstäver här, men var god ha tålamod med oss!
Antag att det allmänna andragradsuttrycket a, x, squared, plus, b, x, plus, c kan faktoriseras som left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis med heltalen A, B, C och D.
När vi utvecklar parentesen får vi andragradsuttrycket left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
Eftersom detta uttryck motsvarar a, x, squared, plus, b, x, plus, c, måste motsvarande koefficienter i de två uttrycken vara lika! Detta ger oss följande förhållande mellan alla okända bokstäver:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Nu, kan vi definiera m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 och n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Enligt denna definition ...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
och
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
Och då är start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 och start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff de två heltal vi alltid letar efter när vi använder denna faktoriseringsmetod!
Nästa steg i metoden efter att ha hittat m och n är att dela upp x-koefficienten left parenthesis, b, right parenthesis enligt m och n och faktorisera genom att använda gruppering.
Om vi ​​delar up x-termen left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x till left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x kan vi använda gruppering för att faktorisera vårt uttryck tillbaka till left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
Sammanfattningsvis, i detta avsnitt har vi ...
  • startat med det generella utvecklade uttrycket a, x, squared, plus, b, x, plus, c och dess allmänna faktorisering left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
  • kunnat hitta två tal, m och n, så att m, n, equals, a, c och m, plus, n, equals, b left parenthesisvi gjorde det genom att definiera m, equals, B, C och n, equals, A, D),
  • delat upp x-termen b, x till m, x, plus, n, x och kunnat faktorisera det utvecklade uttrycket tillbaka till left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Denna process visar varför, om ett uttryck faktiskt kan betraktas som left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, så kommer vår metod att se till att vi hittar denna faktorisering.
Tack för att du tog dig igenom detta!