Huvudinnehåll
Grundläggande algebra
Course: Grundläggande algebra > Enhet 7
Lektion 6: Faktorisera andragradsuttryck 2Faktorisera andragradsuttryck: ledande koefficient ≠ 1
Lär dig hur du faktoriserar andragradsuttryck som en produkt av två linjära binom. Till exempel 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).
Vad du behöver veta innan den här lektionen
Grupperingsmetoden kan användas för att faktorisera polynom med termer genom att ta ut gemensamma faktorer flera gånger. Om det här är nytt för dig, så kolla in vår artikel Introduktion till faktorisering genom gruppering .
Vi rekommenderar också att du går igenom vår artikel om att faktorisera-andragradsuttryck med en ledande koefficient på 1 innan du fortsätter.
Vad du kommer att lära dig i den här lektionen
I denna artikel kommer vi att använda gruppering för att faktorisera andragradsuttryck med en ledande koefficient annan än , som .
Exempel 1: Faktorisera
Eftersom den ledande koefficienten för är , kan vi inte använda summa-produktmetoden för att faktorisera andragradsuttrycket.
I stället måste vi för att faktorisera hitta två heltal som ger produkten (den ledande koefficienten gånger den konstanta termen) och summan ( -koefficienten).
Eftersom och är de två talen och .
Dessa två siffror säger oss hur man delar upp -termen i det ursprungliga uttrycket. Så vi kan uttrycka vårt polynom som
.
Vi kan nu använda gruppering för att faktorisera polynomet:
Den faktoriserade formen är .
Vi kan kontrollera våra beräkningar genom att visa att faktorerna multipliceras tillbaka till .
Sammanfattning
I allmänhet kan vi använda följande steg för att faktorisera ett andragradsuttryck av formen :
- Börja med att bestämma två tal som vid multiplikation ger
och vid addition ger . - Använd dessa tal för att dela upp
-termen. - Använd gruppering för att faktorisera andragradsuttrycket.
Kolla vad du lärt dig
Exempel 2: Faktorisera
För att faktorisera behöver vi hitta två heltal som ger produken och summan .
Eftersom och är talen och .
Vi kan nu skriva termen som summan av och och använda gruppering för att faktorisera polynomet:
Den faktoriserade formen är .
Vi kan kontrollera våra beräkningar genom att visa att faktorerna multipliceras tillbaka till .
Notera: I steg ovan noteras att eftersom det tredje elementet är negativ infördes ett "+" mellan grupperingarna för att hålla uttrycket ekvivalent med originalen. Också i steg behövde vi faktorisera ut en negativ SGF från den andra grupperingen för att avslöja en gemensam faktor av . Var försiktig med dina tecken!
Kolla vad du lärt dig
När är den här metoden användbar?
Tja, uppenbarligen är metoden användbar för att faktorisera andragradare av formen , till och med när .
Det är emellertid inte alltid möjligt att faktorisera ett andragradsuttryck av denna form med hjälp av vår metod.
Exempelvis kan vi ta uttrycket . För att faktorisera det måste vi hitta två heltal som har produkten och summan . Du kan försöka, men du hittar inte två sådana heltal.
Därför fungerar inte vår metod för och för en massa andra andragradsuttryck.
Det är dock viktigt att komma ihåg att om denna metod inte fungerar betyder det att uttrycket inte kan faktoriseras som där , , och är heltal.
Varför fungerar den här metoden?
Vi tar ett djupdyk in i varför den här metoden fungerar över huvud taget. Vi kommer att behöva använda en massa bokstäver här, men var god ha tålamod med oss!
Antag att det allmänna andragradsuttrycket kan faktoriseras som med heltalen , , och .
När vi utvecklar parentesen får vi andragradsuttrycket .
Eftersom detta uttryck motsvarar , måste motsvarande koefficienter i de två uttrycken vara lika! Detta ger oss följande förhållande mellan alla okända bokstäver:
Nu, kan vi definiera och .
Enligt denna definition ...
och
Och då är och de två heltal vi alltid letar efter när vi använder denna faktoriseringsmetod!
Nästa steg i metoden efter att ha hittat och är att dela upp -koefficienten enligt och och faktorisera genom att använda gruppering.
Om vi delar up -termen till kan vi använda gruppering för att faktorisera vårt uttryck tillbaka till .
Sammanfattningsvis, i detta avsnitt har vi ...
- startat med det generella utvecklade uttrycket
och dess allmänna faktorisering , - kunnat hitta två tal,
och , så att och vi gjorde det genom att definiera och ), - delat upp
-termen till och kunnat faktorisera det utvecklade uttrycket tillbaka till .
Denna process visar varför, om ett uttryck faktiskt kan betraktas som , så kommer vår metod att se till att vi hittar denna faktorisering.
Tack för att du tog dig igenom detta!
Vill du gå med i konversationen?
Inga inlägg än.