Huvudinnehåll

Grundläggande algebra

Course: Grundläggande algebra > Enhet 7

Lektion 6: Faktorisera andragradsuttryck 2

Faktorisera andragradsuttryck: ledande koefficient ≠ 1

Lär dig hur du faktoriserar andragradsuttryck som en produkt av två linjära binom. Till exempel 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Vad du behöver veta innan den här lektionen

Grupperingsmetoden kan användas för att faktorisera polynom med

4

termer genom att ta ut gemensamma faktorer flera gånger. Om det här är nytt för dig, så kolla in vår artikel Introduktion till faktorisering genom gruppering .

Vi rekommenderar också att du går igenom vår artikel om att faktorisera-andragradsuttryck med en ledande koefficient på 1 innan du fortsätter.

Vad du kommer att lära dig i den här lektionen

I denna artikel kommer vi att använda gruppering för att faktorisera andragradsuttryck med en ledande koefficient annan än

1

, som

2 x^{2} + 7 x + 3

Exempel 1: Faktorisera $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

Eftersom den ledande koefficienten för

(2 x^{2} + 7 x + 3)

är

2

, kan vi inte använda summa-produktmetoden för att faktorisera andragradsuttrycket.

I stället måste vi för att faktorisera

2 x^{2} + 7 x + 3

hitta två heltal som ger produkten

2 \cdot 3 = 6

(den ledande koefficienten gånger den konstanta termen) och summan

7

(

x

-koefficienten).

Eftersom

1 \cdot 6 = 6

och

1 + 6 = 7

är de två talen

1

och

6

[Hur bestämmer vi dessa tal?]

Dessa två siffror säger oss hur man delar upp

x

-termen i det ursprungliga uttrycket. Så vi kan uttrycka vårt polynom som

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

Vi kan nu använda gruppering för att faktorisera polynomet:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Gruppera termer \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Bryt ut SGF \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Gemensam Faktor! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & Faktorisera ut 2 x + 1 \end{aligned}

Den faktoriserade formen är

(2 x + 1) (x + 3)

[Vad hade hänt om vi grupperat polynomet i en annan ordning?]

Vi kan kontrollera våra beräkningar genom att visa att faktorerna multipliceras tillbaka till

2 x^{2} + 7 x + 3

[Jag skulle vilja se det här tack!]

Sammanfattning

I allmänhet kan vi använda följande steg för att faktorisera ett andragradsuttryck av formen

a x^{2} + b x + c

Börja med att bestämma två tal som vid multiplikation ger $a c$ ‍ och vid addition ger $b$ ‍.
Använd dessa tal för att dela upp $x$ ‍-termen.
Använd gruppering för att faktorisera andragradsuttrycket.

Kolla vad du lärt dig

1) Faktorisera $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍.

[Jag behöver hjälp!]

2) Faktoruppdela $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

[Jag behöver hjälp!]

Exempel 2: Faktorisera $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍

För att faktorisera

6 x^{2} - 5 x - 4

behöver vi hitta två heltal som ger produken

6 \cdot (- 4) = - 24

och summan

- 5

Eftersom

3 \cdot (- 8) = - 24

och

3 + (- 8) = - 5

är talen

3

och

- 8

[Hur kan jag hitta dessa tal?]

Vi kan nu skriva termen

- 5 x

som summan av

3 x

och

- 8 x

och använda gruppering för att faktorisera polynomet:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Gruppera termer \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & Bryt ut SGF \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Förenkla \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Gemensam Faktor! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & Faktorisera ut 2 x + 1 \end{aligned}$ ‍

Den faktoriserade formen är

(2 x + 1) (3 x - 4)

Vi kan kontrollera våra beräkningar genom att visa att faktorerna multipliceras tillbaka till

6 x^{2} - 5 x - 4

[Jag skulle vilja se det här tack!]

Notera: I steg

(1)

ovan noteras att eftersom det tredje elementet är negativ infördes ett "+" mellan grupperingarna för att hålla uttrycket ekvivalent med originalen. Också i steg

(2)

behövde vi faktorisera ut en negativ SGF från den andra grupperingen för att avslöja en gemensam faktor av

2 x + 1

. Var försiktig med dina tecken!

Kolla vad du lärt dig

3) Faktorisera $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

[Jag behöver hjälp!]

4) Faktorisera $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

[Jag behöver hjälp!]

5) Faktorisera $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

[Jag behöver hjälp!]

När är den här metoden användbar?

Tja, uppenbarligen är metoden användbar för att faktorisera andragradare av formen

a x^{2} + b x + c

, till och med när

a \neq 1

Det är emellertid inte alltid möjligt att faktorisera ett andragradsuttryck av denna form med hjälp av vår metod.

Exempelvis kan vi ta uttrycket

2 x^{2} + 2 x + 1

. För att faktorisera det måste vi hitta två heltal som har produkten

2 \cdot 1 = 2

och summan

2

. Du kan försöka, men du hittar inte två sådana heltal.

Därför fungerar inte vår metod för

2 x^{2} + 2 x + 1

och för en massa andra andragradsuttryck.

Det är dock viktigt att komma ihåg att om denna metod inte fungerar betyder det att uttrycket inte kan faktoriseras som

(A x + B) (C x + D)

där

A

B

C

och

D

är heltal.

Varför fungerar den här metoden?

Vi tar ett djupdyk in i varför den här metoden fungerar över huvud taget. Vi kommer att behöva använda en massa bokstäver här, men var god ha tålamod med oss!

Antag att det allmänna andragradsuttrycket

a x^{2} + b x + c

kan faktoriseras som

(A x + B) (C x + D)

med heltalen

A

B

C

och

D

När vi utvecklar parentesen får vi andragradsuttrycket

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

[Jag vill se hela utvecklingsprocessen!]

Eftersom detta uttryck motsvarar

a x^{2} + b x + c

, måste motsvarande koefficienter i de två uttrycken vara lika! Detta ger oss följande förhållande mellan alla okända bokstäver:

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Nu, kan vi definiera

m = B C

och

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Enligt denna definition ...

m + n = B C + A D = b

och

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

Och då är

B C

och

A D

de två heltal vi alltid letar efter när vi använder denna faktoriseringsmetod!

Nästa steg i metoden efter att ha hittat

m

och

n

är att dela upp

x

-koefficienten

(b)

enligt

m

och

n

och faktorisera genom att använda gruppering.

Om vi delar up

x

-termen

(B C + A D) x

till

(B C) x + (A D) x

kan vi använda gruppering för att faktorisera vårt uttryck tillbaka till

(A x + B) (C x + D)

[Jag skulle vilja se det här tack!]

Sammanfattningsvis, i detta avsnitt har vi ...

startat med det generella utvecklade uttrycket $a x^{2} + b x + c$ ‍ och dess allmänna faktorisering $(A x + B) (C x + D)$ ‍,
kunnat hitta två tal, $m$ ‍ och $n$ ‍, så att $m n = a c$ ‍ och $m + n = b$ ‍ $($ ‍vi gjorde det genom att definiera $m = B C$ ‍ och $n = A D$ ‍),
delat upp $x$ ‍-termen $b x$ ‍ till $m x + n x$ ‍ och kunnat faktorisera det utvecklade uttrycket tillbaka till $(A x + B) (C x + D)$ ‍.

Denna process visar varför, om ett uttryck faktiskt kan betraktas som

(A x + B) (C x + D)

, så kommer vår metod att se till att vi hittar denna faktorisering.

Tack för att du tog dig igenom detta!

Vill du gå med i konversationen?

Logga in

Sortera efter:

Inga inlägg än.

Förstår du engelska? Klicka här för att se fler diskussioner på Khan Academys engelska webbplats.

Grundläggande algebra

Course: Grundläggande algebra > Enhet 7

Vad du behöver veta innan den här lektionen

Vad du kommer att lära dig i den här lektionen

Exempel 1: Faktorisera 2x2+7x+3‍

Sammanfattning

Kolla vad du lärt dig

Exempel 2: Faktorisera 6x2−5x−4‍

Kolla vad du lärt dig

När är den här metoden användbar?

Varför fungerar den här metoden?

Vill du gå med i konversationen?

Exempel 1: Faktorisera $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

Exempel 2: Faktorisera $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍