If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Om du är bakom en brandvägg eller liknande filter, vänligen se till att domänerna *. kastatic.org och *. kasandbox.org inte är blockerade.

Huvudinnehåll

Grundläggande algebra

Course: Grundläggande algebra > Enhet 7

Lektion 8: Faktorisera andragradsuttryck: Kvadreringsreglerna
Matematik
Grundläggande algebra
Andragradsuttryck och polynom
Faktorisera andragradsuttryck: Kvadreringsreglerna
© 2023 Khan AcademyAnvändarvillkorIntegritetspolicyCookie Notice

Faktorisera andragradsuttryck: Kvadreringsreglerna

Google Classroom
Lär dig hur du faktoriserar andragradsuttryck med kvadreringreglerna. Skriv t.ex. x²+6x+9 som (x+3)².
Att faktorisera ett polynom innebär att skriva det som en produkt av två eller fler polynom. Det omvänder processen från polynommultiplikation.
I den här artikeln kommer vi att lära oss hur man faktoriserar andragradstrinom med kvadreringsreglerna. Detta omvänder processen att kvadrera ett binom, så du bör förstå det helt innan du fortsätter.

Intro: Faktorisera andragradstrinom

För att expandera något binom kan vi tillämpa en av följande kvadreringsregler.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Observera att i reglerna kan a och b vara vilket algebraiskt uttryck som helst. Till exempel, anta att vi vill utvidga left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. I det här fallet är start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd och start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54 och då får vi:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Du kan kontrollera denna regel genom att använda multiplikation för att expandera left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
Det omvända av denna utvecklingssprocess är en form av faktorisering. Om vi ​​skriver om ekvationerna i omvänd ordning, kommer vi att ha regler för faktorisering av polynom på formen a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Vi kan tillämpa den första kvadreringsregeln för att faktorisera x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Här har vi start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd och start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Uttryck av denna form heter kvadreringstrinom. Namnet återspeglar det faktum att denna typ av polynom med tre termer kan faktoriseras med kvadreringsregelerna!
Vi tittar på några exempel där vi faktoriserar kvadreringstrinom med dessa regler.

Exempel 1: Faktorisera x, squared, plus, 8, x, plus, 16

Observera att både de första och sista termerna är kvadrattal: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared och 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Lägg märke till att mittentermen är två gånger produkten av de tal som är kvadrerade: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Detta säger oss att polynomet är ett kvadreringstrinom och då kan vi använda följande kvadreringsregel.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
I vårt fall är start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd och start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Vi kan faktorisera vårt polynom som följer:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Vi kan kolla våra beräkningar genom att utveckla left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Kolla vad du lärt dig

1) Faktorisera x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
Välj 1 alternativ:

2) Faktorisera x, squared, minus, 6, x, plus, 9.
Välj 1 alternativ:

3) Faktorisera x, squared, plus, 14, x, plus, 49.

Exempel 2: Faktorisera 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

Det är inte nödvändigt att den ledande koefficienten för ett kvadreringstrinom är 1.
Till exempel, i 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 märker du att både de första och sista termerna är kvadrattal: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared och 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Lägg märke till att mittentermen är två gånger produkten av de tal som är kvadrerade: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Eftersom det uppfyller ovanstående villkor är 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 också en kvadreringstrinom. Vi kan åter tillämpa följande kvadreringsregel.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
I det här fallet är start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd och start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Polynomfaktorerna är enligt följande:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Vi kan kolla våra beräkningar genom att utveckla left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Kolla vad du lärt dig

4) Faktorisera 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25.
Välj 1 alternativ:

5) Faktorisera 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25.

Utmaningsuppgifter

6*) Faktorisera x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1.

7*) Faktorisera 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared.

Vill du gå med i konversationen?

Logga in
Inga inlägg än.
Förstår du engelska? Klicka här för att se fler diskussioner på Khan Academys engelska webbplats.