If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Om du är bakom en brandvägg eller liknande filter, vänligen se till att domänerna *. kastatic.org och *. kasandbox.org inte är blockerade.

Huvudinnehåll

Faktorisera andragradsuttryck av olika former

Knyt ihop allt du lärt dig om andragradsfaktorisering för att faktorisera andragradsuttryck av olika former.

Vad du behöver veta för den här lektionen

Följande faktoriseringsmetoder kommer att användas i denna lektion:

Vad du kommer att lära dig i den här lektionen

I denna artikel kommer du öva på att kombinera dessa metoder för att helt faktorisera andragradsuttryck av någon form.

Intro: Repetition av faktoriseringsmetoder

MetodExempelNär är det tillämpbart?
Faktorisera ut gemensamma faktorer= 6x2+3x=3x(2x+1)Om varje term i polynomet delar en gemensam faktor.
Summa-produktformeln= x2+7x+12=(x+3)(x+4)Om polynomet är av formen x2+bx+c och det finns faktorer av c som vid addition ger b.
Grupperingsmetoden= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)Om polynomet är av formen ax2+bx+c och det finns faktorer av ac som vid addition ger b.
Kvadreringsreglerna= x2+10x+25=(x+5)2Om den första och sista termen är kvadrattal och mittentermen är dubbelt så stor som deras kvadratiska rötter.
Konjugatregeln=  x29=(x3)(x+3)Om uttrycket representerar en differens av kvadrattal.

Att sätta ihop allt

I praktiken kommer du sällan att få veta vilken typ av faktoriseringsmetod(er) som ska användas när man stöter på en uppgift. Så det är viktigt att du utvecklar någon typ av checklista som kan användas för att göra faktoriseringsprocessen enklare.
Här är ett exempel på en sådan checklista, där en rad frågor ställs för att bestämma hur man ska faktorisera andragradspolynomet.

Faktorisera andragradsuttryck

Innan du börjar med en faktoriseringsuppgift är det en bra idé att skriva ditt uttryck i standardform.
När det är gjort kan du gå vidare till följande lista med frågor:
Fråga 1: Finns det en gemensam faktor?
Om nej, gå till fråga 2. Om ja, faktorisera ut SGF och fortsätt till fråga 2.
Att faktorisera SGF är ett mycket viktigt steg i faktoriseringsprocessen, eftersom det gör talen mindre. Detta gör det lättare att känna igen mönster!
Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal (dvs x216 eller 25x29)?
Om en differens av kvadrattal förekommer, använd konjugatregeln a2b2=(a+b)(ab). Om inte, fortsätt till fråga 3.
Fråga 3: Finns det ett perfekt kvadrattrinom (dvs x210x+25 eller 4x2+12x+9)?
Om det finns ett perfekt kvadratitrinom, använd kvadreringsregeln a2±2ab+b2=(a±b)2. Om inte, fortsätt till fråga 4.
Fråga 4:
a.) Finns det ett uttryck av formen x2+bx+c?
Om nej, fortsätt till fråga 5. Om ja, gå vidare till b).
b.) Finns det faktorer av c som vid addition ger b?
Om ja, faktorisera med hjälp av summa-produktformeln. Annars kan inte andragradsuttrycket faktoriseras ytterligare.
Fråga 5: Finns det faktorer av ac som vid addition ger b?
Om du har kommit så här långt måste andragradsuttrycket vara av formen ax2+bx+c där a1. Om det finns faktorer av ac som vid addition ger b, faktorisera med grupperingsmetoden. Annars kan inte andragradsuttrycket faktoriseras ytterligare.
Genom att följa den här checklistan får du hjälp med att göra en komplett faktorisering av andragradaren!
Med detta i åtanke, kan vi försöka med några exempel.

Exempel 1: Faktorisering av 5x280

Observera att uttrycket redan finns i standardform. Vi kan gå till checklistan.
Fråga 1: Finns det en gemensam faktor?
Ja. SGF av 5x2 och 80 är 5. Vi kan faktorisera ut detta enligt följande:
5x280=5(x216)
Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal?
Ja. x216=(x)2(4)2. Vi kan använda konjugatregeln för att fortsätta att faktorisera polynomet som visas nedan.
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)
Det finns inga fler andragradare i uttrycket. Vi har faktoriserat polynomet helt.
Avslutningsvis, 5x280=5(x+4)(x4).

Exempel 2: Faktorisering av 4x2+12x+9

Det kvadratiska uttrycket är återigen i standardform. Vi börjar med checklistan!
Fråga 1: Finns det en gemensam faktor?
Nej termerna 4x2, 12x och 9 delar inte en gemensam faktor. Nästa fråga.
Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal?
Nej. Det finns en x-term, så det här kan inte vara konjugatregeln. Nästa fråga.
Fråga 3: Finns det ett kvadrattalstrinom?
Ja. Den första termen är ett kvadrattal eftersom 4x2=(2x)2 och den sista termen är ett kvadrattal eftersom 9=(3)2. Dessutom är mittentermen dubbelt så stor som produkten av de tal som är kvadrerade eftersom 12x=2(2x)(3).
Vi kan använda kvadreringsregeln för att faktorisera andragradaren.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Avslutningsvis, 4x2+12x+9=(2x+3)2.

Exempel 3: Faktorisering av 12x63+3x2

Detta andragradsuttryckuttryck är för närvarande inte i standardform. Vi kan skriva om det som 3x2+12x63 och sedan fortsätta med checklistan.
Fråga 1: Finns det en gemensam faktor?
Ja. SGF av 3x2, 12x och 63 är 3. Vi kan faktorisera ut detta enligt följande:
3x2+12x63=3(x2+4x21)
Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal?
Nej. Nästa fråga.
Fråga 3: Finns det ett kvadrattalstrinom?
Nej. Observera att 21 inte är ett kvadrattal, så det här kan inte vara ett kvadrattalstrinom. Nästa fråga.
Fråga 4a: Finns det ett uttryck av formen x2+bx+c?
Ja. Den resulterande andragradaren, x2+4x21, är av denna form.
Fråga 4b: Finns det faktorer av c vid addition ger b?
Ja. Specifikt finns det faktorer av 21 som vid addition ger 4.
Eftersom 7(3)=21 och 7+(3)=4 kan vi fortsätta att faktorisera som följer:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)
Avslutningsvis, 3x2+12x63=3(x+7)(x3).

Exempel 4: Faktorisering av 4x2+18x10

Observera att detta kvadratiska uttryck redan finns i standardform.
Fråga 1: Finns det en vanlig faktor?
Ja. SGF av 4x2, 18x och 10 är 2. Vi kan faktorisera ut detta enligt följande:
4x2+18x10=2(2x2+9x5)
Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal?
Nej. Nästa fråga.
Fråga 3: Finns det ett kvadrattalstrinom?
Nej. Nästa fråga.
Fråga 4a: Finns det ett uttryck i formen x2+bx+c?
Nej Den ledande koefficienten på andragradssfaktorn är 2. Nästa fråga.
Fråga 5: Finns det faktorer av ac som summerar till b?
Det resulterande kvadratiska uttrycket är 2x2+9x5 , Alltså ska vi hitta faktorer av 2(5)=10 som summerar till 9.
Eftersom (1)10=10 och (1)+10=9, är svaret ja.
Vi kan nu skriva om mittentermen som 1x+10x och använda gruppering för att faktorisera/faktoruppdela:
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)Dela upp mittentermen=2((2x21x)+(10x5))Gruppering=2(x(2x1)+5(2x1))Faktorisera ut SGFs=2(2x1)(x+5)Faktorisera ut 2x1

Kolla vad du lärt dig

1) Faktorisera 2x2+4x16 fullständigt.
Välj 1 alternativ:

2) Faktorisera 3x260x+300 fullständigt.

3) Faktorisera 72x22 fullständigt.

4) Faktorisera 5x2+5x+15 fullständigt.
Välj 1 alternativ:

5) Faktorisera 8x212x8 fullständigt.

6) Faktorisera 5618x+x2 fullständigt.

7) Faktorisera 3x2+27 helt.
Välj 1 alternativ:

Vill du gå med i konversationen?

Inga inlägg än.
Förstår du engelska? Klicka här för att se fler diskussioner på Khan Academys engelska webbplats.