Huvudinnehåll

Grundläggande algebra

Course: Grundläggande algebra > Enhet 7

Lektion 8: Faktorisera andragradsuttryck: Kvadreringsreglerna

Faktorisera andragradsuttryck av olika former

Google Classroom

Knyt ihop allt du lärt dig om andragradsfaktorisering för att faktorisera andragradsuttryck av olika former.

Vad du behöver veta för den här lektionen

Följande faktoriseringsmetoder kommer att användas i denna lektion:

Vad du kommer att lära dig i den här lektionen

I denna artikel kommer du öva på att kombinera dessa metoder för att helt faktorisera andragradsuttryck av någon form.

Intro: Repetition av faktoriseringsmetoder

Metod	Exempel	När är det tillämpbart?
Faktorisera ut gemensamma faktorer	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Om varje term i polynomet delar en gemensam faktor.
Summa-produktformeln	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	Om polynomet är av formen $x^{2} + b x + c$ ‍ och det finns faktorer av $c$ ‍ som vid addition ger $b$ ‍.
Grupperingsmetoden	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Om polynomet är av formen $a x^{2} + b x + c$ ‍ och det finns faktorer av $a c$ ‍ som vid addition ger $b$ ‍.
Kvadreringsreglerna	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	Om den första och sista termen är kvadrattal och mittentermen är dubbelt så stor som deras kvadratiska rötter.
Konjugatregeln	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	Om uttrycket representerar en differens av kvadrattal.

Att sätta ihop allt

I praktiken kommer du sällan att få veta vilken typ av faktoriseringsmetod(er) som ska användas när man stöter på en uppgift. Så det är viktigt att du utvecklar någon typ av checklista som kan användas för att göra faktoriseringsprocessen enklare.

Här är ett exempel på en sådan checklista, där en rad frågor ställs för att bestämma hur man ska faktorisera andragradspolynomet.

Faktorisera andragradsuttryck

Innan du börjar med en faktoriseringsuppgift är det en bra idé att skriva ditt uttryck i standardform.

[Varför?]

När det är gjort kan du gå vidare till följande lista med frågor:

Fråga 1: Finns det en gemensam faktor?
Om nej, gå till fråga 2. Om ja, faktorisera ut SGF och fortsätt till fråga 2.

Att faktorisera SGF är ett mycket viktigt steg i faktoriseringsprocessen, eftersom det gör talen mindre. Detta gör det lättare att känna igen mönster!

Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal (dvs $x^{2} - 16$ ‍ eller $25 x^{2} - 9$ ‍)?
Om en differens av kvadrattal förekommer, använd konjugatregeln

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. Om inte, fortsätt till fråga 3.

Fråga 3: Finns det ett perfekt kvadrattrinom (dvs $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ eller $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)?
Om det finns ett perfekt kvadratitrinom, använd kvadreringsregeln

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

. Om inte, fortsätt till fråga 4.

Fråga 4:

a.) Finns det ett uttryck av formen $x^{2} + b x + c$ ‍?
Om nej, fortsätt till fråga 5. Om ja, gå vidare till b).

b.) Finns det faktorer av $c$ ‍ som vid addition ger $b$ ‍?
Om ja, faktorisera med hjälp av summa-produktformeln. Annars kan inte andragradsuttrycket faktoriseras ytterligare.

Fråga 5: Finns det faktorer av $a c$ ‍ som vid addition ger $b$ ‍?
Om du har kommit så här långt måste andragradsuttrycket vara av formen

a x^{2} + b x + c

där

a \neq 1

. Om det finns faktorer av

a c

som vid addition ger

b

, faktorisera med grupperingsmetoden. Annars kan inte andragradsuttrycket faktoriseras ytterligare.

Genom att följa den här checklistan får du hjälp med att göra en komplett faktorisering av andragradaren!

[Vad betyder det att faktorisera helt?]

Med detta i åtanke, kan vi försöka med några exempel.

Exempel 1: Faktorisering av $5 x^{2} - 80$ ‍

Observera att uttrycket redan finns i standardform. Vi kan gå till checklistan.

Fråga 1: Finns det en gemensam faktor?
Ja. SGF av

5 x^{2}

och

80

är

5

. Vi kan faktorisera ut detta enligt följande:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal?
Ja.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

. Vi kan använda konjugatregeln för att fortsätta att faktorisera polynomet som visas nedan.

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Det finns inga fler andragradare i uttrycket. Vi har faktoriserat polynomet helt.

Avslutningsvis,

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

Exempel 2: Faktorisering av $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Det kvadratiska uttrycket är återigen i standardform. Vi börjar med checklistan!

Fråga 1: Finns det en gemensam faktor?
Nej termerna

4 x^{2}

12 x

och

9

delar inte en gemensam faktor. Nästa fråga.

Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal?
Nej. Det finns en

x

-term, så det här kan inte vara konjugatregeln. Nästa fråga.

Fråga 3: Finns det ett kvadrattalstrinom?
Ja. Den första termen är ett kvadrattal eftersom

4 x^{2} = (2 x)^{2}

och den sista termen är ett kvadrattal eftersom

9 = (3)^{2}

. Dessutom är mittentermen dubbelt så stor som produkten av de tal som är kvadrerade eftersom

12 x = 2 (2 x) (3)

Vi kan använda kvadreringsregeln för att faktorisera andragradaren.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

Avslutningsvis,

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

Exempel 3: Faktorisering av $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Detta andragradsuttryckuttryck är för närvarande inte i standardform. Vi kan skriva om det som

3 x^{2} + 12 x - 63

och sedan fortsätta med checklistan.

Fråga 1: Finns det en gemensam faktor?
Ja. SGF av

3 x^{2}

12 x

och

63

är

3

. Vi kan faktorisera ut detta enligt följande:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal?
Nej. Nästa fråga.

Fråga 3: Finns det ett kvadrattalstrinom?
Nej. Observera att

21

inte är ett kvadrattal, så det här kan inte vara ett kvadrattalstrinom. Nästa fråga.

Fråga 4a: Finns det ett uttryck av formen $x^{2} + b x + c$ ‍?
Ja. Den resulterande andragradaren,

x^{2} + 4 x - 21

, är av denna form.

Fråga 4b: Finns det faktorer av $c$ ‍ vid addition ger $b$ ‍?
Ja. Specifikt finns det faktorer av

- 21

som vid addition ger

4

Eftersom

7 \cdot (- 3) = - 21

och

7 + (- 3) = 4

kan vi fortsätta att faktorisera som följer:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Avslutningsvis,

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

Exempel 4: Faktorisering av $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍

Observera att detta kvadratiska uttryck redan finns i standardform.

Fråga 1: Finns det en vanlig faktor?
Ja. SGF av

4 x^{2}

18 x

och

10

är

2

. Vi kan faktorisera ut detta enligt följande:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

Fråga 2: Finns det en differens av kvadrattal?
Nej. Nästa fråga.

Fråga 3: Finns det ett kvadrattalstrinom?
Nej. Nästa fråga.

Fråga 4a: Finns det ett uttryck i formen $x^{2} + b x + c$ ‍?
Nej Den ledande koefficienten på andragradssfaktorn är

2

. Nästa fråga.

Fråga 5: Finns det faktorer av $a c$ ‍ som summerar till $b$ ‍?
Det resulterande kvadratiska uttrycket är

2 x^{2} + 9 x - 5

, Alltså ska vi hitta faktorer av

2 \cdot (- 5) = - 10

som summerar till

9

Eftersom

(- 1) \cdot 10 = - 10

och

(- 1) + 10 = 9

, är svaret ja.

Vi kan nu skriva om mittentermen som

- 1 x + 10 x

och använda gruppering för att faktorisera/faktoruppdela:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & Dela upp mittentermen \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & Gruppering \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & Faktorisera ut SGFs \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & Faktorisera ut 2 x - 1 \end{aligned}

Kolla vad du lärt dig

1) Faktorisera $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍ fullständigt.

[Jag behöver hjälp!]

2) Faktorisera $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍ fullständigt.

[Jag behöver hjälp!]

3) Faktorisera $72 x^{2} - 2$ ‍ fullständigt.

[Jag behöver hjälp!]

4) Faktorisera $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍ fullständigt.

[Jag behöver hjälp!]

5) Faktorisera $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍ fullständigt.

[Jag behöver hjälp!]

6) Faktorisera $56 - 18 x + x^{2}$ ‍ fullständigt.

[Jag behöver hjälp!]

7) Faktorisera $3 x^{2} + 27$ ‍ helt.

[Jag behöver hjälp!]

Vill du gå med i konversationen?

Logga in

Sortera efter:

Inga inlägg än.

Förstår du engelska? Klicka här för att se fler diskussioner på Khan Academys engelska webbplats.

Grundläggande algebra

Course: Grundläggande algebra > Enhet 7

Vad du behöver veta för den här lektionen

Vad du kommer att lära dig i den här lektionen

Intro: Repetition av faktoriseringsmetoder

Att sätta ihop allt

Faktorisera andragradsuttryck

Exempel 1: Faktorisering av 5x2−80‍

Exempel 2: Faktorisering av 4x2+12x+9‍

Exempel 3: Faktorisering av 12x−63+3x2‍

Exempel 4: Faktorisering av 4x2+18x−10‍

Kolla vad du lärt dig

Vill du gå med i konversationen?

Exempel 1: Faktorisering av $5 x^{2} - 80$ ‍

Exempel 2: Faktorisering av $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Exempel 3: Faktorisering av $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Exempel 4: Faktorisering av $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍