Huvudinnehåll

Grundläggande algebra

Course: Grundläggande algebra > Enhet 4

Lektion 6: Räta linjens ekvation (k-form) intro

Introduktion till räta linjens ekvation (k-form)

Lär dig om räta linjens ekvation (k-form) för linjära ekvationer med två variabler och hur man tolkar den för att bestämma linjens lutning och skärning med y-axeln.

Vad du bör känna till innan du påbörjar den här lektionen

Du bör veta vad tvåvariabla linjära ekvationer är. Specifikt bör du veta att grafen för sådana ekvationer är en linje. Om detta är nytt för dig, kolla in vår intro till tvåvariabla ekvationer.
Du bör också vara bekant med följande egenskaper för linjära ekvationer: $y$ ‍ -intercept och $x$ ‍ -intercept och lutning.

Vad du kommer att lära dig i den här lektionen

Vad är räta linjens ekvation (k-form) för linjära ekvationer med två variabler
Hur man bestämmer en linjes lutning och $y$ ‍-intercept genom räta linjens ekvation
Hur man bestämmer en linjes ekvation utifrån dess lutning och $y$ ‍-intercept

Vad är räta linjens ekvation (k-form)?

Räta linjens ekvation (k-form) är en specifik formel för linjära ekvationer. Den har följande allmänna struktur. Trumvirvel ...

y = m x + b

Här kan

m

och

b

vara vilka två reella tal som helst. Exempelvis är dessa linjära ekvationer enligt räta linjens ekvation (k-form):

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2, 7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
[Men denna ekvation har x i sista termen!]

Å andra sidan är dessa linjära ekvationer inte skrivna enligt räta linjens ekvation (k-form):

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

Räta linjens ekvation (k-form) är den vanligaste formen av linjära ekvationer. Vi gräver djupare för att lära oss varför det är så.

Koefficienterna i räta linjens ekvation (k-form)

Förutom att vara snygg och förenklad, är k-form av räta linjens ekvations fördel är att den ger två viktiga egenskaper för linjen den representerar:

Riktningskoefficienten (lutningen) är $m$ ‍.
$y$ ‍-koordinaten för $y$ ‍-interceptet är $b$ ‍. Med andra ord är linjens $y$ ‍-intercept $(0, b)$ ‍.

Till exempel har linjen

y = 2 x + 1

en riktningskoefficient (lutning) på

2

och ett

y

-intercept vid

(0, 1)

Det faktum att denna form ger lutningen och

y

-interceptet är anledningen till att den kallas lutning-intercept (slope-intercept) på engelska!

Kolla vad du lärt dig

Uppgift 1

Vilken riktningskoefficient (lutning) har linjen $y = 5 x - 7$ ‍?

Uppgift 2

Vilken riktningskoefficient (lutning) har linjen $y = x + 9$ ‍?

Uppgift 3

Vad är $y$ ‍-interceptet för linjen representerad av $y = - 6 x - 11$ ‍?

Uppgift 4

Vad är $y$ ‍-interceptet för linjen representerad av $y = 4 x$ ‍?

Uppgift 5

Vilken riktningskoefficient (lutning) har linjen $y = 1 - 8 x$ ‍?

Uppgift 6

Vilka linjer har ett $y$ ‍-intercept vid $(0, 4)$ ‍?

Reflektionsfråga

Hur hittar vi lutningen på en linje som ges enligt räta linjens ekvation (k-form)?

Utmaningsuppgift 1

Vilken av dessa kan vara linjens ekvation?

Utmaningsuppgift 2

Skriv en ekvation för en linje vars lutning är $10$ ‍ och $y$ ‍-intercept är $(0, - 20)$ ‍.

Varför fungerar det här?

Du kanske undrar hur det kommer sig att i räta linjens ekvation (k-form) ger

m

lutningen och

b

ger

y

-interceptet.

Kan det här vara en slags magi? Nejdå, det är verkligen inte magi. I matematik finns det alltid en motivering. I det här avsnittet tar vi en titt på den här regeln genom att använda ekvationen

y = 2 x + 1

som ett exempel.

Varför $b$ ‍ ger $y$ ‍-interceptet

Vid

y

-interceptet är

x

-värdet alltid noll. Så om vi vill bestämma

y

-interceptet för

y = 2 x + 1

ska vi ersätta

x = 0

och lösa för

y

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & Ersätt x = 0 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

Vi ser att vid

y

-interceptet blir

2 x

noll och därför får vi kvar

y = 1

[Jag vill se ett bevis med den allmänna formen y = mx + b!]

Varför $m$ ‍ ger riktningskoefficienten (lutningen)

Låt oss fräscha upp våra minnen om exakt vad riktningskoefficient (lutning) är. Riktningskoefficienten (lutningen) är förhållandet mellan förändringen i

y

över förändringen i

x

mellan två punkter på linjen.

Riktningskoefficient (lutning) = \frac{Ändring i y}{Ändring i x}

Om vi tar två punkter där förändringen i

x

är exakt

1

enhet, kommer ändringen i

y

att vara lika med själva lutningen.

Riktningskoefficient (lutning) = \frac{Ändring i y}{1} = Ändring i y

Vi tittar på vad som händer med

y

-värdena i ekvationen

y = 2 x + 1

efterhand som

x

-värdena ökar konstant med

1

enhet.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

Vi ser att varje gång

x

ökar med

1

enhet, ökar

y

med

2

enheter. Detta beror på att

x

bestämmer multipeln av

2

vid beräkningen av

y

Som nämnts ovan är förändringen i

y

som motsvarar

x

ökning med

1

enhet lika med linjens lutning. Av denna anledning är lutningen

2

[Jag vill se ett bevis med den allmänna formen y = mx + b!]

Utmaningsuppgift 3

Fyll i linjens ekvation.

y =

Vill du gå med i konversationen?

Logga in

Sortera efter:

Inga inlägg än.

Förstår du engelska? Klicka här för att se fler diskussioner på Khan Academys engelska webbplats.